Máximo de Uniformes Independentes

Muitas vezes, ao resolver problemas em estatística, precisamos definir novas variáveis aleatórias em funções de outras existentes no problema. Por exemplo, se em um problema temos $n$ variáveis aleatórias (v.a.) seguindo distribuição uniforme, $X_i \sim Unif(0, \theta), i=1, \dots, n$, podemos estar interessados na distribuição de $Y$, o máximo desssas v.a. $X_i$. Supondo que $X_i$ são $i.i.d.$, isto é, independentes e igualmente distribuídas, temos que  

$$F(y) = P(Y \leq y) = P[max(X_1, \cdots, X_n) \leq y] = P(X_1 \leq y, \cdots, X_n \leq y)$$

Pela suposição de independência, temos que

$$P(Y \leq y) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \leq y) =  \prod_{i=1}^{n} \frac{y}{\theta} = {\left( \frac{y}{\theta}\right)}^n$$

Diferenciando a distribuição acumulada, temos a densidade.

$$f(y) = n \frac{y^{n-1}}{\theta^n},$$

Para valores de $y$ entre $0$ e $\theta$. Com a densidade, podemos calcular a esperança, por exemplo. Essa será a esperança da distribuição do máximo de uniformes no intervalo $(0, \theta)$. Lembre-se de adaptar os cálculos no caso de v.a. no intervalo $(a,b)$.

$$E(Y) = \int_{0}^{\theta} \, y f(y) \, dy = \int_{0}^{\theta} \, y \,  n \, \frac{y^{n-1}}{\theta^n} dy$$

Essa integral é bastante simples e resulta em

$$E(Y) = \frac{n \theta}{n+1}$$