Exemplo de Distribuição Marginal Geométrica

Distribuições condicionais estão bastante presentes em diversos problemas de estatística. Às vezes precisamos saber a distribuição marginal de uma variável quando conhecemos uma distribuição condicional e outra marginal. Por exemplo, se $X|N \sim BinNeg (N, p)$ e $N \sim Geo(\beta)$, podemos estar interessados na distribuição marginal de $X$.

Primeiramente, vamos definir as funções de probabilidade para $X|N$ e $N$.

$$
P(X|N=n)=C^{n+x-1}_{n-1} p^n (1-p)^x, x = 0, 1, 2, \dots.
$$
Isso significa que a v.a. $X|N$ representa o número de fracassos até se obter o n-ésimo sucesso.

$$
P(N=n)=\beta (1-\beta)^{n-1}, n=1, 2, 3, \dots.
$$
Assim, $N$ representa o número de tentativas até se obter o primeiro sucesso.

Agora podemos escrever a distribuição conjunta de $X$ e $N$.

$$
P(X=x, N=n)=P(N=n) P(X|N=n)=\beta p  (1-p)^x  C^{n+x-1}_{n-1} [p(1-\beta)]^{n-1},
$$

para $x = 0, 1, 2, \dots$ e $ n=1, 2, 3, \dots.$ Para encontrar a distribuição marginal de $X$, basta fazer

$$
P(X=x)=\sum_{n=1}^{\infty} P(X=x, N=n) = \beta p  (1-p)^x  \times  \sum_{n=1}^{\infty} C^{n+x-1}_{n-1} [p(1-\beta)]^{n-1}
$$
Para o segundo somatório da equação acima, faremos uma transformação de variáveis: $k=n-1$

$$
\sum_{n=1}^{\infty} C^{n+x-1}_{n-1} [p(1-\beta)]^{n-1} = \sum_{k=0}^{\infty} C^{x+(k+1)-1}_{x+1-1} [p(1-\beta)]^{k} = \frac{1}{[1-p(1-\beta)]^{x+1}},
$$
pela definição de distribuição binomial negativa. Assim,

$$
P(X=x)=\beta p (1-p)^x \frac{1}{[1-p(1-\beta)]^{x+1}}=\frac{\beta p}{1-p(1-\beta)}\left(\frac{1-p}{1-p(1-\beta)}\right)^x
$$

Logo, $X \sim Geo\left(\frac{\beta p}{1-p(1-\beta)}\right)$.