Distribuição Marginal Binomial

Problema: Imagine que você jogue $m$ bolas em uma urna, $U_N$, e pegue as bolas que entraram na urna e as jogue em outra urna, $U_X$. Se $q$ é a probabilidade de entrar na urna $U_N$, então $N \sim Bin(m, q)$ é o número de bolas que entram na urna $U_N$. Se $p$ é a probabilidade de acertar a bola dentro da urna $U_X$, então o número de bolas que entram na urna $U_X$ é $X|N \sim Bin(N,p)$ e assim $X \sim Bin(m, pq)$. Isto é, para acertar a urna $U_X$, é preciso acertar primeiro a urna $U_N$, com probabilidade $q$, e com probabilidade $p$ acertar a segunda, $U_X$. Como os eventos são independentes, multiplicamos as probabilidades.

Demonstração:
Podemos estabeler o modelo do problema como: $X|N \sim Bin(N,p)$ e $N \sim Bin(m, q)$. Começaremos com a distribuição conjunta. 

$P(X=x, N=n) = C^{x}_{N}\, p^x (1-p)^{N-x} C^{N}_m q^N (1-q)^{m-N}$

Para $x=0,1,\dots, N$ e $N=0, 1, \dots, m$. Assim, poderemos calcular a distribuição marginal $P(X=x)$.

$P(X=x) = \sum_{N=x}^{m} \frac{N!}{x!(N-x)!} \frac{m!}{N!(m-N)!} \frac{(m-x)!}{(m-x)!} (pq)^x q^{N-x}(1-q)^{m-N} (1-p)^{N-x}$

$P(X=x) = C^{x}_m (pq)^x \sum_{N=x}^{m} \frac{(m-x)!}{(N-x)!(m-N)!} q^{N-x}(1-q)^{m-N}(1-p)^{N-x}$


Fazendo a transformação $N-x=t$ e $m-x=k$, temos que

$P(X=x) = C^{x}_m (pq)^x \times \sum_{t=0}^{k} C^{t}_k [q(1-p)]^t (1-q)^{k-t} \frac{(1-pq)^k}{(1-pq)^{k-t+t}}$

$P(X=x) = C^{x}_m (pq)^x (1-pq)^{m-x} \times \sum_{t=0}^{k} C^{t}_k \left[\frac{[q(1-p)]}{1-pq}\right]^t \left[\frac{(1-q)}{1-pq}\right]^{k-t}= C^{x}_m (pq)^x (1-pq)^{m-x}$

Assim, $X \sim Bin(m, pq)$.