Distribuição do produto de duas variáveis exponenciais

Nesta postagem será apresentada a obtenção da função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável $Z=XY$, em que $X$ e $Y$ seguem distribuição exponencial com parâmetros $a$ e $b$, respectivamente, e as duas variáveis são independentes. Para isso, usaremos a transformada de Mellin (para saber mais, clique aqui).

A transformada de Mellin

Quando $f(z)$ se trata de uma f.d.p., a transformada de Mellin de $f$  com argumento $s \in \mathbb{C}$ é dada por:

$$
F(s)=E(Z^{s-1})=\int_0^{\infty} z^{s-1} f(z) dz,
$$

em que $\alpha \leq s \leq \beta$.

A transformada inversa de Mellin

A partir da expressão para o $r-$ésimo momento de uma distribuição, pode-se conhecer a densidade através da transformada inversa de Mellin, dada por:

$$
f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_L z^{-s} E(Z^{s-1}) ds,
$$

em que $i=\sqrt{-1}$.

Distribuição do produto de duas v.a. exponenciais independentes

Problema: $X \sim Exp(a)$ e $Y \sim Exp(b)$. Encontre a f.d.p de $Z=XY$ assumindo que $X$ e $Y$ são independentes.

Demonstração: Através da suposição de independência e da fórmula para o $r$-ésimo momento de uma v.a. exponencial, temos que:

$$
E(Z^{s-1})=E(X^{s-1}Y^{s-1})=E(X^{s-1})E(Y^{s-1})=\frac{\Gamma(s)}{a^{s-1}} \frac{\Gamma(s)}{b^{s-1}}
$$

Assim, usando a transformada inversa de Mellin, temos que

$$
f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_L z^{-s}E(z^{s-1}) ds = \frac{ab}{2 \pi i} \int_L (z a b)^{-s} \Gamma^2(s) ds
$$

Pelo teorema de Cauchy,

$$
f(z)=\frac{ab}{2 \pi i} 2 \pi i \sum_{r=1}^{n} Res,
$$
em que $Res$ significa resíduos.

Para resolver essa integral complexa, precisamos achar os pólos (i.e., os pontos de singularidade). Para este caso, como tem-se o quadrado de uma função gama, os pólos são de segunda ordem e iguais  a $s = -r$, onde $r=0,1,2,\dots$. Assim, temos que os resíduos são dados por

$$
Res = \lim_{s \rightarrow -r} \frac{\partial^{2-1}}{\partial s^{2-1}}
\left\{ (s+r)^2 (z a b)^{-s}  \Gamma^2(s) \right\}
$$

Note que
$$
(s+r) \Gamma(s)=\frac{\Gamma(s+r+1)}{\prod_{j=0}^{r-1} (s+j)} = \frac{1}{r!}
$$

Seja $A(s)=(s+r)^2 (z a b)^{-s}  \Gamma^2(s)$. $A(s)$, usando o fato anterior, pode ser escrito como

$$
A(s)= \frac{\Gamma^2(s+r+1)}{\left(\prod_{j=0}^{r-1} (s+j) \right)^2} (z a b)^{-s}
$$

$$
\lim_{s \rightarrow -r}  \log(A(s)) = 2 \log(\Gamma(1)+r \log(z a b) - 2 \log \left(\prod_{j=0}^{r-1} (s+j) \right)
$$

Usando o fato de que $\log(A(s))=(1/A(s)) A'(s)$,

$$
\log(A(s)) = \left( 2 \Psi(1)-\log(z a b) -2\sum_{j=0}^{r-1} \frac{1}{j-r} \right) \frac{(zab)^r}{(r!)^2} = A'(s)(1/A(s)),
$$

Em que $ \Psi(u)=\frac{d}{d u} \log(\Gamma(u))=\frac{\Gamma(u)}{u}$.
Como estamos interessados em $Res=A'(s)= \left( 2 \Psi(1)-\log(z a b) -2\sum_{j=0}^{r-1} \frac{1}{j-r} \right)$ voltamos ao cálculo da densidade de $Z$ com

$$
f(z)=\frac{ab}{2 \pi i} 2 \pi i \sum_{r=1}^{n} Res = \frac{ab} \sum_{r=1}^{n}  \left( 2 \Psi(1)-\log(z a b) -2\sum_{j=0}^{r-1} \frac{1}{j-r} \right),
$$
Com $z \in (0, \infty)$.