Melhor estimador não viciado (ENVVUM) de $\theta$ no caso da Distribuição Uniforme($0, \theta$)

Comecemos com uma amostra aleatória de tamanho $n$, $X_1, X_2, \dots, X_n$, de uma população com distribuição Uniforme(0, $\theta$).

Objetivo: Queremos encontrar um estimador não viciado de variância uniformemente mínima (ENVVUM) para $\theta$.

Como faremos isso: Há várias formas de se obter um ENVVUM. Aqui iremos:

1. Buscar uma estatística suficiente e completa;
2. Encontrar um estimador não viciado que seja função da estatística obtida em (1) e 
3. Através do Teorema de Lehmann-Sheffé, obteremos o  ENVVUM.

A densidade para uma observação é dada por: 

$$f(\mathbf{x}|\theta)=\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} I_{(0,\theta)} {(x_i)} =I_{(0,x_n)} {(x_1)} \frac{1}{\theta^n} I_{(0,\theta)} {(x_n)}$$

Como separamos a densidade $f(\mathbf{x}|\theta)$ em uma parte que depende apenas da amostra e outra que depende do parâmetro através de $X_n$, temos que $T=X_n$ é uma estatística suficiente, pelo Critério de Fatoração de Fisher-Neyman.

Para verificar a completude da estatística $T=X_n$, note que se uma estatística é completa, temos que $E(g(T))=0  \iff  g(T)=0$. Lembre de uma postagem anterior que calculamos a densidade de $T=X_n$, obtendo $f_T (x)=\frac{n}{\theta^n} x^{n-1}$. Assim,

$$E(g(T))=\int_{0}^{\theta} g(T) \frac{n}{\theta^n} x^{n-1} dx = 0 \iff g(T)=0$$,

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos que $g(T)=0$.

Mostramos então que $X_n$ é uma estatística suficiente e completa. Calculamos anteriormente a esperança de $T=X_n$, que é $\frac{n \theta}{(n+1)}$. Assim, considere
$T^*=\left(\frac{n+1}{n}\right)X_n$. Temos naturalmente que $E(T^*)=\theta$. Então $T^*$ é um estimador não viciado para $\theta$ que é função de $X_n$, uma estatística suficiente e completa. Logo, pelo Teorema de Lehmann-Scheffé, $T^*$ é ENVVUM.