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sexta-feira, 29 de maio de 2015

Melhor estimador não viciado (ENVVUM) de \theta no caso da Distribuição Uniforme(0, \theta)

Comecemos com uma amostra aleatória de tamanho n, X_1, X_2, \dots, X_n, de uma população com distribuição Uniforme(0, \theta).

Objetivo: Queremos encontrar um estimador não viciado de variância uniformemente mínima (ENVVUM) para \theta.

Como faremos isso: Há várias formas de se obter um ENVVUM. Aqui iremos:

  1. Buscar uma estatística suficiente e completa;
  2. Encontrar um estimador não viciado que seja função da estatística obtida em (1) e 
  3. Através do Teorema de Lehmann-Sheffé, obteremos o  ENVVUM.
A densidade para uma observação é dada por: 

f(\mathbf{x}|\theta)=\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} I_{(0,\theta)} {(x_i)} =I_{(0,x_n)} {(x_1)} \frac{1}{\theta^n} I_{(0,\theta)} {(x_n)}

Como separamos a densidade f(\mathbf{x}|\theta) em uma parte que depende apenas da amostra e outra que depende do parâmetro através de X_n, temos que T=X_n é uma estatística suficiente, pelo Critério de Fatoração de Fisher-Neyman.

Para verificar a completude da estatística T=X_n, note que se uma estatística é completa, temos que E(g(T))=0  \iff  g(T)=0. Lembre de uma postagem anterior que calculamos a densidade de T=X_n, obtendo f_T (x)=\frac{n}{\theta^n} x^{n-1}. Assim,

E(g(T))=\int_{0}^{\theta} g(T) \frac{n}{\theta^n} x^{n-1} dx = 0 \iff g(T)=0,

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos que g(T)=0.

Mostramos então que X_n é uma estatística suficiente e completa. Calculamos anteriormente a esperança de T=X_n, que é \frac{n \theta}{(n+1)}. Assim, considere
T^*=\left(\frac{n+1}{n}\right)X_n. Temos naturalmente que E(T^*)=\theta. Então T^* é um estimador não viciado para \theta que é função de X_n, uma estatística suficiente e completa. Logo, pelo Teorema de Lehmann-Scheffé, T^* é ENVVUM.

Um comentário:

  1. nao estou conseguindo por nada dessem mundo encontrar a distribuição do minimo dessa mesma uniforme

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