Ordens de magnitude de sequências de números reais

No estudo de teoria assintótica, muitas vezes é interessante comparar sequências de variáveis aleatórias quando $n$, o tamanho da amostra, tende a infinito. Antes de conhecer a notação $O_p$ e $o_p$ usada para comparar sequências de variáveis aleatórias, será apresentada a notação $O$ e $o$, usada para comparar sequências de números reais.

Considere duas sequências de números reais, $(a_n)_{n \geq 1}$  e $(b_n)_{n \geq 1}$, com $(b_n) \neq 0$ para todo $n$ suficientemente grande.

Definição: $a_n=O(b_n)$ quando $n \rightarrow \infty$ se houver um número real $k>0$ e $n_0=n_0 (k)$ natural tal que

$$
\left| \frac{a_n}{b_n} \right| \leq k, \text{ para todo $n \geq n_0$.}
$$

Em outras palavras, dizemos que a ordem de magnitude de $(a_n)_{n \geq 1}$  é no máximo igual à ordem de magnitude de $(b_n)_{n \geq 1}$  para todo $n$ suficientemente grande.

Note também que $a_n=O(b_n)$ se e somente se $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n \geq 1}$ é uma sequência limitada, e $a_n=O(1)$ se e somente se $(a_n)_{n \geq 1}$ é uma sequência limitada.

Definição: $a_n=o(b_n)$ quando $n \rightarrow \infty$ se, e somente se, para todo $\epsilon>0$ existir $n_0=n_0 (\epsilon)$ natural tal que

$$
\left| \frac{a_n}{b_n} \right| \leq \epsilon, \text{ para todo $n \geq n_0$.}
$$

Em outras palavras, dizemos que a ordem de magnitude de $(a_n)_{n \geq 1}$  é menor do que a ordem de magnitude de $(b_n)_{n \geq 1}$  para todo $n$ suficientemente grande.

Note também que $a_n=o(b_n)$ se e somente se $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=0$, e $a_n=o(1)$ se e somente se $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=0$.