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segunda-feira, 21 de setembro de 2015

Ordens de magnitude de sequências de números reais

No estudo de teoria assintótica, muitas vezes é interessante comparar sequências de variáveis aleatórias quando n, o tamanho da amostra, tende a infinito. Antes de conhecer a notação O_p e o_p usada para comparar sequências de variáveis aleatórias, será apresentada a notação O e o, usada para comparar sequências de números reais.

Considere duas sequências de números reais, (a_n)_{n \geq 1}  e (b_n)_{n \geq 1}, com (b_n) \neq 0 para todo n suficientemente grande.

Definição: a_n=O(b_n) quando n \rightarrow \infty se houver um número real k>0 e n_0=n_0 (k) natural tal que

\left| \frac{a_n}{b_n} \right| \leq k, \text{ para todo $n \geq n_0$.}

Em outras palavras, dizemos que a ordem de magnitude de (a_n)_{n \geq 1}  é no máximo igual à ordem de magnitude de (b_n)_{n \geq 1}  para todo n suficientemente grande.

Note também que a_n=O(b_n) se e somente se \left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n \geq 1} é uma sequência limitada, e a_n=O(1) se e somente se (a_n)_{n \geq 1} é uma sequência limitada.

Definição: a_n=o(b_n) quando n \rightarrow \infty se, e somente se, para todo \epsilon>0 existir n_0=n_0 (\epsilon) natural tal que

\left| \frac{a_n}{b_n} \right| \leq \epsilon, \text{ para todo $n \geq n_0$.}

Em outras palavras, dizemos que a ordem de magnitude de (a_n)_{n \geq 1}  é menor do que a ordem de magnitude de (b_n)_{n \geq 1}  para todo n suficientemente grande.

Note também que a_n=o(b_n) se e somente se \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=0, e a_n=o(1) se e somente se \lim_{n \rightarrow \infty} a_n=0.

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