Ordens de magnitude estocástica

Considere $(X_n)_{n \geq 1}$ e $(Y_n)_{n \geq 1}$ sequências de variáveis aleatórias definidas em $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$. Supomos que $Y_n \neq 0$ q.c. $[\mathcal{P}]$, i.e, $P(Y_n \neq 0)=1$, $n=1, 2, \dots$.

Definição: $X_n = O_p(Y_n)$ se, e somente se, para todo $\eta>0$ existirem um número $k=k(\eta)>0$ e $n_0=n_0(\epsilon)$ natural tal que, para todo $n \geq n_0$,

$$ P \left( \left| \frac{X_n}{Y_n} \right| \geq k  \right) \leq \eta $$

Em outras palavras, $\left(\frac{X_n}{Y_n}\right)_{n \geq 1}$ é limitada em probabilidade para $n$ suficientemente grande.

Definição: $X_n = o_p(Y_n)$ se, e somente se, para quaisquer números reais $\epsilon$ e  $\eta$ positivos existir um número $n_0=n_0(\epsilon, \eta)$ natural tal que:

$$ P \left( \left|\frac{X_n}{Y_n}\right| \geq \epsilon  \right) \leq \eta, \text{ para todo $n \geq n_0$.} $$

Ou, de maneira equivalente, se

$$\lim_{n \rightarrow \infty} P \left( \left|\frac{X_n}{Y_n}\right| \geq \epsilon  \right) =0. $$ 

Exemplo: Seja $(X_n)_{n \geq 1}$ uma sequência de variáveis aleatórias definidas no espaço
$(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$. Prove que $O_p(O_p(X_n))=O_p (X_n)$.

Solução:
Escreva $Y_n=O_p(X_n)$ e $W_n=O_p(Y_n)$. Queremos então mostrar que $W_n=O_p(X_n)$.
Como $Y_n=O_p(X_n)$ e $W_n=O_p(Y_n)$, então para todo $\eta>0$ existem $k_1$ e $k_2$, e também $n_0=n_0(k_1)$ e $n_1=n_1(k_2)$ tais que

$$P\left( \left|\frac{Y_n}{X_n}\right| \geq k_1  \right) \leq \eta/2, \text{ para todo $n \geq n_0$, e}$$
$$P\left( \left|\frac{W_n}{Y_n}\right| \geq k_2  \right) \leq \eta/2, \text{ para todo $n \geq n_1$.}$$

Temos assim que, para todo $n \geq $ max$(n_0, n_1)$,

\begin{eqnarray}P\left( \left|\frac{W_n}{X_n}\right| \geq k_1 k_2  \right) &=& P\left( \left|\frac{W_n Y_n}{Y_n X_n}\right| \geq k_1 k_2  \right) \nonumber\\ &\leq& P\left( \left|\frac{Y_n}{X_n}\right| \geq k_1  \right) + P\left( \left|\frac{W_n}{Y_n}\right| \geq k_2  \right) \\ &\leq& \eta/2 +\eta/2 = \eta \nonumber \end{eqnarray}

Assim, $W_n=O_p(X_n)$ ou $O_p(O_p(X_n))=O_p (X_n)$.

Note que a equação (1) ocorre pois para $X$ e $Y$ variáveis aleatórias e $a$ e $b$ números reais positivos, temos que

 \begin{eqnarray}P(XY>cd) &=&P(XY>cd, X>c, Y>d)+
P(XY>cd, X>c, Y<d) \nonumber \\  &+& P(XY>cd, X<c, Y>d) + P(XY>cd, X<c, Y<d) \nonumber\\  &=&P(\{ X>c \text{ ou } Y>d \} \text{ e } XY>cd) \nonumber \\  &\leq& P(X>c \text{ ou } Y>d)\\  &\leq& P(X>c) + P(Y>d) \end{eqnarray}

Note que a equação (2) ocorre porque a probabilidade da interseção é menor ou igual que a probabilidade de um dos eventos. Já a equação (3) resulta do fato de que a probabilidade da união é menor ou igual que a soma das probabilidades.