Definição: X_n = O_p(Y_n) se, e somente se, para todo \eta>0 existirem um número k=k(\eta)>0 e n_0=n_0(\epsilon) natural tal que, para todo n \geq n_0,
P \left( \left| \frac{X_n}{Y_n} \right| \geq k \right) \leq \eta
Em outras palavras, \left(\frac{X_n}{Y_n}\right)_{n \geq 1} é limitada em probabilidade para n suficientemente grande.
Definição: X_n = o_p(Y_n) se, e somente se, para quaisquer números reais \epsilon e \eta positivos existir um número n_0=n_0(\epsilon, \eta) natural tal que:
P \left( \left|\frac{X_n}{Y_n}\right| \geq \epsilon \right) \leq \eta, \text{ para todo $n \geq n_0$.}
Ou, de maneira equivalente, se
\lim_{n \rightarrow \infty} P \left( \left|\frac{X_n}{Y_n}\right| \geq \epsilon \right) =0.
Exemplo: Seja (X_n)_{n \geq 1} uma sequência de variáveis aleatórias definidas no espaço
(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P}). Prove que O_p(O_p(X_n))=O_p (X_n).
Solução:
Escreva Y_n=O_p(X_n) e W_n=O_p(Y_n). Queremos então mostrar que W_n=O_p(X_n).
Como Y_n=O_p(X_n) e W_n=O_p(Y_n), então para todo \eta>0 existem k_1 e k_2, e também n_0=n_0(k_1) e n_1=n_1(k_2) tais que
P\left( \left|\frac{Y_n}{X_n}\right| \geq k_1 \right) \leq \eta/2, \text{ para todo $n \geq n_0$, e}
P\left( \left|\frac{W_n}{Y_n}\right| \geq k_2 \right) \leq \eta/2, \text{ para todo $n \geq n_1$.}
\begin{eqnarray}P\left( \left|\frac{W_n}{X_n}\right| \geq k_1 k_2 \right) &=& P\left( \left|\frac{W_n Y_n}{Y_n X_n}\right| \geq k_1 k_2 \right) \nonumber\\ &\leq& P\left( \left|\frac{Y_n}{X_n}\right| \geq k_1 \right) + P\left( \left|\frac{W_n}{Y_n}\right| \geq k_2 \right) \\ &\leq& \eta/2 +\eta/2 = \eta \nonumber \end{eqnarray}
Assim, W_n=O_p(X_n) ou O_p(O_p(X_n))=O_p (X_n).
Note que a equação (1) ocorre pois para X e Y variáveis aleatórias e a e b números reais positivos, temos que
\begin{eqnarray}P(XY>cd) &=&P(XY>cd, X>c, Y>d)+ P(XY>cd, X>c, Y<d) \nonumber \\ &+& P(XY>cd, X<c, Y>d) + P(XY>cd, X<c, Y<d) \nonumber\\ &=&P(\{ X>c \text{ ou } Y>d \} \text{ e } XY>cd) \nonumber \\ &\leq& P(X>c \text{ ou } Y>d)\\ &\leq& P(X>c) + P(Y>d) \end{eqnarray}
Note que a equação (2) ocorre porque a probabilidade da interseção é menor ou igual que a probabilidade de um dos eventos. Já a equação (3) resulta do fato de que a probabilidade da união é menor ou igual que a soma das probabilidades.
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